而要说到哥德尔不完备定理就必须提到希尔伯特纲领，其核心思路就是在每个数学领域规定一些基本公理，再将公理写成形式语言，用来证明其他命题。
比如两点确定一条直线，其核心表达是“过任意两个不同的点，有且仅有一条直线”，其形式化公式为：?
x?
y((point(x)∧point(y)∧x=y)→?
!
l(line(l)∧on(x,l)∧on(y,l)))
如果这非常复杂，那么著名的皮亚诺公理就非常简洁了。
比如，0是自然数，即：0∈n。
每一个自然数 nn，都有且仅有一个确定的后继数 n′n′，并且 n′n′ 也是自然数。
即：?
n∈n,?
!
?
n′∈n?
n∈n,?
!
n′∈n，对于任意自然数 m,nm,n，如果 mm 的后继数等于 nn 的后继数（即 m′=n′m′=n′），则 m=nm=n。
0 不是任何自然数的后继数。
即：不存在自然数 nn，使得 n′=0n′=0。
形式化：?
(?
n∈n,?
n′=0)?
(?
n∈n,n′=0)。
从这些公式出发，用区区五十步就能证明1+1=2。
希尔伯特觉得这套基于公理和证明的数学体系非常棒，他提出，还要再证明这套系统有三种美好品质，即：
完备性（所有真命题都可以从公理出发得到证明）
一致性（这个体系不存在矛盾）
可判定性（存在一个算法能判定任意一个命题是否可以从公理出发证明）。
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